Всего: 51 1–20 | 21–40 | 41–51
Добавить в вариант
В прямоугольном треугольнике АВС отмечены: точка К — середина гипотенузы АВ и на катете ВС точка М такая, что 
Пусть отрезки АМ и СК пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая КМ касается описанной окружности треугольника АКР.
и двум парам равных соответствующих сторон 
и 
Следовательно, 
Значит, угол между хордой КР и прямой КМ, равный углу МКС, равен вписанному углу КАР, опирающемуся на хорду КР, поэтому КМ — касательная к описанной окружности треугольника АКР в точке К.
.
.
по теореме, обратной теореме Фалеса это влечёт параллельность PQ и АВ (и то, что отношение их длин равно 1 к 3). Аналогично доказывается параллельность остальных пар сторон. Строго говоря, отсюда следует подобие четырёхугольников с коэффициентом 
но это для решения задачи не нужно.
Докажите, что величины углов РВС и АМР равны.На стороне AC правильного треугольника ABC отмечена точка K, такая что AK : KB = 1 : 2. На стороне BC отметили точку L, а на стороне AC — точку M, так что сумма длин KL + LM + MB минимальна. Найдите отношение CM : MA.
и 
Затем отразим точку B относительно 
и получим 
и 
лежат на одной прямой. По теореме Фалеса (или по теореме о средней линии треугольника) 
поэтому 
Точка K лежит на продолжении луча BC за точку C, 
Кроме того, 
и — точки пересечения диагоналей четырехугольников и соответственно. Докажите, что 
Точка K лежит на продолжении луча AB за точку B, 
Кроме того, 
O и X — точки пересечения диагоналей четырехугольников ABCD и KLBC соответственно. Докажите, что 
На высоте BH треугольника ABC отмечена некоторая точка D. Прямая AD пересекает сторону BC в точке E, прямая CD пересекает сторону AB в точке F. Точки G и J являются проекциями соответственно точек F и E на сторону AC. Площадь треугольника HEJ вдвое больше площади треугольник HFG. В каком отношении высота BH делит отрезок FE?
Тогда 
откуда
считая от точки E. 
и 
где K — точка пересечения BH и FE. Заметим, что 
откуда вытекает подобие прямоугольных треугольников HEJ и HFG. В силу теоремы Фалеса 
Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и 
Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
и треугольник TBC — равнобедренный (с основанием BC). Поэтому его биссектриса TD является также медианой и высотой. Значит, AD — медиана и высота треугольнкие ABC. т. е. 
—
По свойству биссектрисы, 
откуда 
Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
1.2 Дан треугольник DEF. Окружность, проходящая через вершины E и F пересекает стороны DE и DF в точках X и Y соответственно. Биссектриса угла 
пересекает DF в точке Y', а биссектриса угла 
пересекает DE в точке X'. Докажите, что XY и X'Y' параллельны.
Развернуть
треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AIC пересекает 
(теорема Фалеса). По свойству биссектрисы,
то получаем, что I лежит на серпере к AC. Отсюда следует равнобедренность.На стороне AB треугольника ABC выбрана такая точка P, что 3AP = AB. В треугольниках APC и BPC проведены биссектрисы PK и PL соответственно, а в треугольниках APK и BPL опущены высоты AQ и BR. В каком отношении прямая CP делит
Поскольку 
(см. рис.). По теореме Фалеса искомое отношение равно 
Из подобия треугольников BEG и AED получаем 
Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD, сторону CD и прямую BC в точках E, F и G соответственно. Найдите отношение FG : FE, если 
Ответ при необходимости округлите до сотых.
Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 
а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через середину стороны основания AC, параллельна медиане AM боковой грани ATB и пересекает ребро AT в точке N, так что TN = 3AN, а расстояние от AM до секущей плоскости равно 
Пусть H — середина AB, 
и 
то 
следовательно, 
или 
прямую CE параллельную SF. Поскольку 
и 
отсюда 
Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 8, а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через середину стороны основания AC, параллельна медиане AM боковой грани ATB и пересекает ребро AT в точке N, так что TN = 3AN, а расстояние от AM до секущей плоскости равно 
Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 
а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины стороны основания AC и бокового ребра TB и параллельной медиане TD боковой грани ATB, если расстояние между TD и секущей плоскостью равно 1.
Поскольку 
то 
Пусть 
Проведем через точки Z, D, F, B, W прямые, параллельные FE; X, G, E, H, Y — соответственно их точки пересечения со стороной AB. Очевидно,
то EFMN — искомое сечение. Поскольку прямые TG и SE параллельны, 
и 
то 
прямую SK перпендикулярную FE, 
прямую AP перпендикулярную SK, 
Поскольку 
прямая AP перпендикулярна плоскости (SFE), то длина PQ равна заданному в условии задачи расстоянию d между TD и секущей плоскостью. Тогда 
В треугольнике AFE имеем 
отсюда
Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 4, а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины стороны основания AC и бокового ребра TB и параллельной медиане TD боковой грани ATB, если расстояние между TD и секущей плоскостью равно 
Внутри выпуклого четырехугольника пять прямых делят его на шесть четырехугольников, а две его противоположные стороны — на шесть одинаковых частей каждую. Найдите площадь четвертого из полученных четырехугольников, если сумма площадей первого, пятого и шестого равна 60.
В трапеции ABCD точки K, N принадлежат отрезку BC, BK = KN = NC = 1, а точки P, Q принадлежат отрезку AD, AP = PQ = QD = 2. Прямые BC и AD параллельны. Точка K соединена с точками A, P, Q, D. Точка P соединена с точками B, K, N, C. Докажите, что точки пересечения прямых BP и AK, KQ и PN, KD и PC лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции.
следовательно, треугольник KLF подобен треугольнику KQD, отсюда прямая LF параллельна QD.
Прямая TL пересекает BE в точке Z, 
по обобщенной теореме Фалеса, тогда 
a 
